当公安机关掌握了犯罪嫌疑人实施背信运用受托财产罪的事实，并且能够提供充足的证据证明犯罪事实时，可以立案侦查并追诉相关责任人。总之，背信运用受托财产罪的量刑将根据犯罪情节的严重程度而定，同时在立案追诉方面，公安机关将根据犯罪事实的清楚性和证据的充分性来决定是否立案追诉。
在中国刑法中，背信运用受托财产罪属于财产犯罪的一种，根据《刑法》第272条的规定，背信运用受托财产是指受托人违反法律、行政法规的规定，违背受托人职责，非法占有、非法使用、非法处分受托的财物，数额较大或者造成其他严重后果的行为。
根据《刑法》第272条的规定，对于背信运用受托财产罪，如果数额较大或者造成其他严重后果，属于情节严重的，将被判处三年以下有期徒刑或者拘役，并处或单处罚金；如果数额巨大或者造成特别严重后果，属于情节特别严重的，则将被判处三年以上七年以下的有期徒刑，并处罚金。
值得注意的是，在立案追诉方面，对于背信运用受托财产罪的立案追诉标准，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，公安机关可以立案侦查的标准主要有两个方面，即“犯罪事实清楚”和“证据确实充分”。当公安机关掌握了犯罪嫌疑人实施背信运用受托财产罪的事实，并且能够提供充足的证据证明犯罪事实时，可以立案侦查并追诉相关责任人。
总之，背信运用受托财产罪的量刑将根据犯罪情节的严重程度而定，同时在立案追诉方面，公安机关将根据犯罪事实的清楚性和证据的充分性来决定是否立案追诉。