李某支付了相应的财物给被拐卖儿童的家属，之后将该名儿童带回家并作为自己的私人拥有物。李某的行为构成了收买被拐卖的儿童罪，如果情节较为严重，可能会被判处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。
根据中华人民共和国刑法，收买被拐卖的儿童罪是指以非法交易方式获取他人被拐卖的未成年人，并获得财物或其他利益的行为。该罪的判罪标准如下：
1. 情节严重的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；
2. 情节特别严重的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。
具体的情节严重和特别严重，根据具体案件的实际情况进行综合考量，包括但不限于：
1. 收买的儿童数量和年龄；
2. 收买儿童的目的和用途；
3. 收买儿童的方式和手段；
4. 对被拐卖儿童的伤害和虐待程度等。
以下是一个收买被拐卖的儿童案例：
李某在网上了解到一名被拐卖的儿童信息，之后与被拐卖儿童的家属进行了联系，并以高价购买了该名儿童。李某支付了相应的财物给被拐卖儿童的家属，之后将该名儿童带回家并作为自己的私人拥有物。李某的行为构成了收买被拐卖的儿童罪，如果情节较为严重，可能会被判处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。